「f(x)みたいな関数をその空間上に持ってきてあれこれ計算するというイメージはあっていますか？」
⇒ そのような感じです。
例えば
高校数学でもよくあるのが関数の平行移動がある。
y = f(x)
を平行移動させて別の関数を作る
というものである。
これは
y - q = f(x - q) ⇒ y = g(x)
として移すことができる。
これは、最初の空間にあるすべての関数が同時に平行移動させることによって別の平行移動した空間に移せることを示唆している。
空間上に考えるのが困難な座標の直線と円があれば平行移動によって容易な空間' , 直線' , 円' に移せることができる。
原点を中心(あるいは通る)とした空間' に平行移動させて
y = g(x)
として考えると効率がよく解ける。
空間' で解いて 元の空間に逆に平行移動で戻すと元の空間での解答が得られる。
y = g(x)
を
y + q = g(x + p) ⇒ y = f(x)
で戻せる。
あるいは
「指数関数」を「偶関数」と「奇関数」に分解
して、「偶関数」、「奇関数」でそれぞれ考えまた合成して「指数関数」に戻す。
あるいは
「三角関数を指数関数に移す」「指数関数を三角関数に移す」
といったことは関数空間の代表的な例です。
e^(ix) = cos(x) + i sin(x)
であるから
e^(i(-x)) = cos(x) - i sin(x)
となる。
これより
cos(x) = {e^(ix) + e^(i(-x))}/2
sin(x) = {e^(ix) - e^(i(-x))}/2i
とすることで指数関数と三角関数を相互に行き来できる。
三角関数では困難でも指数関数に移して容易に考え、結果を三角関数に戻す。
あるいはその逆もある。
といった感じです。
