乗り換え改札を使う場合、先に在来線分の乗車券を投入してからIC カードをタッチする必要があります。
もしくはおっしゃる通り乗り換え改札を使わずに一旦出て入り直すのも手です(ご面倒でなければ)。
というのも新幹線の IC 乗車券(スマートEX)だけのタッチで新幹線→在来線の乗り換え改札を通ると、
ICカードに対して在来線の入場処理が入ります。
この処理があることで、その先の在来線区間をICカードで乗る場合に、乗り換え改札での入場処理と降車駅の出場処理を用いて在来線区間の運賃を引き落とせるようになっています。
今回の場合、乗り換え改札でICカードの入場処理が入ったものの、最終的な降車駅で紙のきっぷを使ったためにICカードの出場処理がされず、次回の入場処理ができない状態になっていたのです。