日本大学理工学部数学科に限らず、数学科の講義は次のような感じです。
共通テスト数学よりはるかに難しいと言えると思います。
代数学の基礎である群論は次のように始まります。
集合Gとそこで定義された積と呼ばれる演算に対して、次の(1), (2), (3)が成り立つとき、Gはこの演算に関して群であるという。
(1) 任意のa, b, c∈Gに対して、(ab)c=a(bc)。
(2) 次のことが成り立つような元e∈Gが存在する：
任意のa∈Gに対してae=ea=aが成り立つ。
(3)任意のa∈Gに対してab=ba=eが成り立つような元b∈Gが存在する。
解析学の基礎である一般位相は次のように始まります。
集合Xとその部分集合の族Oがあり、次の(1), (2), (3)が成り立つとき、
XとOの組(X, O)を位相空間という。
(1) φ∈O, X∈O。
(2) 任意の{(Oλ)}[λ∈Λ]⊂Oに対して、U[λ∈Λ](Oλ)∈O。
(3) O₁∈O, O₂∈OならばO₁∩O₂∈O。
幾何学の基礎である多様体論は次のように始まります。
位相空間M=(M, O)があるとする。任意の異なる2点x, y∈Mに対して、x∈(Ox), y∈(Oy), (Ox)∩(Oy)=φが成り立つとき、Mはハウスドルフ空間であるという。
ハウスドルフ空間Mに対して、次の(1), (2), (3)を満たす集合族
{((Uα), (φα))}をn次元の局所座標系という。
(1) {(Uα)}はMの開被覆。
(2) 任意のαに対して、(φα):(Uα)→(φα)((Uα))⊂Rⁿは同相写像。
(3)(Uα)∩(Uβ)≠φのとき、
(φβ)◦(φα)⁻¹:(φα)((Uα)∩(Uβ))→(φβ)((Uα)∩(Uβ))はC∞級写像。
ハウスドルフ空間Mが局所座標系{((Uα), (φα))}をもつとき、Mはn次元多様体であるという。
