以前の回答を拝見した際に、パッと見AIが正しそうでしたし、「球対称の荷電粒子」というのが何を指すのかわからなかったためスルーしていました。点電荷であればUehlingポテンシャルですが、球対称に分布する電荷の周りの真空偏極は分布に依存するので。
任意のrについて有効な点電荷のUehlingポテンシャルの式はかなり複雑なのでLandauの\u0026quot;Quantum Electrondynamics\u0026quot;p.506やWikipedia ( https://en.wikipedia.org/wiki/Uehling_potential )を参照してください。以下では、r\u0026gt;\u0026gt;1/m(=λ_C)とr\u0026lt;\u0026lt;1/m(=λ_C)に分けて議論します。
● r\u0026gt;\u0026gt;1/m
r\u0026gt;\u0026gt;1/mでの正しい真空偏極のポテンシャルの式は添付画像の通りです。αは微細構造定数(≒1/137)、mは電子の質量です。この式は自然単位系c=ħ=1を採用しているので、cとħをSI単位系に直すには式の中のmをmc/ħに置き換えれば良いです。
電子の(換算)コンプトン波長はλ_C=ħ/mcなので、AI回答と同じ形に直すと
V_vac(r) ≈ −(α/r) × (α/4√π) × (λ_C/r)^(3/2) × exp(-2r/λ_C)
となります。ただし、AI回答では電荷密度を、この式ではポテンシャルを表しているのでその差に注意してください。電荷分布はρ(r)=−ΔV(r)で導出可能ですが、真空偏極の電荷分布を求めるのはあまり一般的ではありませんし、式が複雑になるだけなのでここでは省きます。
上に書いたV_vac(r)の特徴はr\u0026gt;\u0026gt;λ_Cでのみ有効ですが、これをr→∞とすれば指数関数的に0に近付きます。電荷分布についても、ラプラシアンを作用させた後もexp(-2r/λ_C)の項は残るのでr→∞で指数関数的に減衰することは同じです。
● r\u0026lt;\u0026lt;1/m
逆にrが小さい場合には
V_vac(r) ≈ −(α/r) × (2α/3π) × (log(λ_C/r)−γ−5/6)
となります。ここで、γ=0.577...は定数。
この場合には、r→0とすればこの式は発散します。ラプラシアンで微分して電荷分布を求めても、この傾向は同じです。
補足
AI回答のミスは、r\u0026gt;\u0026gt;λ_Cでのみ有効な (正しいかどうかも微妙) 式を用いてr\u0026lt;\u0026lt;λ_Cを評価したことにあります。
