チワワなら問題無いですね。
>SNS にてのアイコン画像を有名人や有名なキャラにすると「著作権」などの問題がってなりそう
はい、その通りです。
>著作権の監督する文化庁も「Twitterのアイコンの使用程度の利用」
であっても「著作権侵害×」としています。
下記、朝日新聞でも、「勝手にアップロードされた写真やイラストそのもの」は×です。
https://www.facebook.com/asahicom/photos/a.128433873895585/3332255153513425/?id=105843392821300
文化庁が容認しているなんて言う事実は、存在しません。