古典文法です。「進もう」は「進まなん（なむ）」であってますか？

違います

進もう を古語で言うのであれば「進まむ」

となります。この時、むは意志の助動詞です。



進まなむでは「進んでほしい」と言う意味を表し、この場合、なむは願望の終助詞となります。