(1)
((1+√5)/2)³
=(1+3√5+15+5√5)/8
=(16+8√5)/8
=2+√5
2\u0026lt;√5\u0026lt;3
4\u0026lt;2+√5\u0026lt;5
整数部分は4なので、
a=2+√5-4=√5-2
a=√5-2
a+2=√5
a²+4a+4=5
a²+4a+5=6
(2)
log₂x-log₂y=1 …①
xlog₂x-ylog₂y=0 …②
①より
log₂(x/y)=log₂2
x/y=2
x=2y …③
②に③を代入して
2ylog₂(2y)-ylog₂y=0
2y(log₂2+log₂y)-ylog₂y=0
2y(1+log₂y)-ylog₂y=0
2y+2ylog₂y-ylog₂y=0
2y+ylog₂y=0
真数条件よりy\u0026gt;0なので
2+log₂y=0
log₂y=-2
y=2⁻²
y=1/4
x=2y=1/2
(x,y)=(1/2,1/4)
(3)
ベクトル記号の矢印は省略します。
内積記号は・の代わりに.を使います。
OA⊥OBなので
OA.OB=0
(4,s,t).(2,3,2)=0
8+3s+2t=0
3s+2t=-8 …①
4点O,A,B,Cが同一平面上にあるので
OC=uOA+vOB
を満たすu,vの組が存在する。
(0,5,1)=u(4,s,t)+v(2,3,2)
(0,5,1)=(4u+2v,su+3v,tu+2v)
4u+2v=0 …②
su+3v=5 …③
tu+2v=1 …④
④－②より
(t-4)u=1 …⑤
③×2－②×3より
(2s-12)u=10
(s-6)u=5 …⑥
⑤×(s-6)－⑥×(t-4)より
0=s-6-5(t-4)
0=s-6-5t+20
s-5t=-14 …⑦
①×5＋⑦×2より
17s=-68
s=-4
①より
-12+2t=-8
2t=4
t=2
(s,t)=(-4,2)
(4)
a[k]=3*4ᵏ⁻¹
テキスト入力の都合で、n²のことをnnと書くことがあります。
Σ[k=n,n²]a[k]
=Σ[k=1,n²]a[k]-Σ[k=1,n-1]a[k]
=Σ[k=1,n²](3*4ᵏ⁻¹)-Σ[k=1,n-1](3*4ᵏ⁻¹)
=3Σ[k=1,n²]4ᵏ⁻¹-3Σ[k=1,n-1]4ᵏ⁻¹
=3(4ⁿⁿ-1)/(4-1)-3(4ⁿ⁻¹-1)/(4-1)
=4ⁿⁿ-1-(4ⁿ⁻¹-1)
=4ⁿⁿ-1-4ⁿ⁻¹+1
=4ⁿⁿ-4ⁿ⁻¹
