慌ただしいけどイケます。
自分の時は少し余裕があり、1/14-15で共テを受け、1/16に登校してリサーチ。
1/18に担任から「追加で早稲田を受けませんか？合格の可能性が高いから検討して下さい」といきなり言われ、自分では決められなかったので、担任が親にメールしてくれ、夜に親と相談して・・・
翌1/19の早朝から親と担任がメールでどこに出願するか打ち合わせして、web出願して、親が郵便局へ行き普通に間に合いました。
web出願は便利だなぁ！って思った記憶があります。
※調査書は、他の大学に使う予定のが手元にあったので、それを使いました。
質問者さんは早稲田を事前に考えているのだから、
・事前に調査書を依頼しておく
・1/18に自己採点して（東進の自動採点システムが超便利）
・1/19に高校でリサーチ出すときに担任に相談して、親に電話かLINEして親に出願頼み、そのまま郵便局に行ってもらえば、十分に間に合います。もちろんご自身で手続きするのも良いと思います。
また早稲田は1/20消印有効なので、1日余裕があります。
健闘を祈ります！
