そもそも、漱石は現代の人ではなく「こゝろ」は100年以上前の作品ですから、古めかしい表現があっておかしくないですが、
「めく」（めいた）は名詞や形容詞などについて動詞化する語ですから、○○めいた、という形で様々な語を作れます。
「唐めく」が現代の人にぱっと理解されるかというと、そうではないかもしれませんが、この時代だと〈詩や書や煎茶を嗜む父の傍で育ったので〉この「詩」は西洋詩ではなく「漢詩」であり、書も煎茶も中国文化の流入が元であると、時代の違いは理解して読むべきかと思います。
子供の表記は、昔は色々使われており、小共、子共、小供などが子供に統一されていきます。
リンクは文化庁の資料ですが、
1963 年（昭和 38 年）読売スタイルブック「小供→子供」とあります。これは読売新聞社の用語集のようなものです。表記を「子供」に直しましょうということでしょう。
つまり、この頃まではまだ「小供」表記が残っていたということです。
https://www.bunka.go.jp/seisaku/bunkashingikai/kokugo/kokugo_kadai/iinkai_06/pdf/sanko_1.pdf
