24年度国立理系入試問題^_^111愛媛大学[理学部](4)╰(*´︶`*)╯♡【学部】 理（数学受験），医（医），工，農，教育（学校教育〈教育発達実践・初等中等教育—国語・社会・英語・算数・数学・理科・技術・情報〉）【試験時間】理・工（理型・デジタル情報人材育成特別プログラム）・医学部は120分，他は100分．【その他特記事項】 〔入試科目〕Ⓐ理・工（理型・デジタル情報人材育成特別プログラム）・医学部は数I・II・III・A・B（列ベ），Ⓑ教育学部・農・工（文理型）は数I・II・A・B（列ベ） 〔注意〕Ⓐは[4]～[6]の3問，Ⓑは[1]～[3]の3問を解答のこと．何卒よろしくお願いします

minaminoさん 2025/12/23 9:02



1) |z|=|√3+i|＝√(3+1)＝2



|1/z|=1/|z|=1/2



iz=－1+i√3

=2{－1/2+i(√3/2)}

=2{cos(2π/3) ＋ i sin(2π/3)}



arg(iz)=2π/3





2) x²/4+(y－1)²＝1



両辺をⅹで微分

x/2+2(y－1)y´＝0



(√3,3/2)を代入

√3/2+2(3/2－1)y´＝0

y´=－√3/2



y=－√3/2(x－√3)+3/2



y=－(√3/2)x+3



x²/4+(y－1)²＝1, y=－(√3/2)x+3



https://ja.wolframalpha.com/input?i=x%C2%B2%2F4%2B%28y%EF%BC%8D1%29%C2%B2%EF%BC%9D1%2C+y%3D%EF%BC%8D%28%E2%88%9A3%2F2%29x%2B3





3) ∫[π/6,π/3](1－cos2θ)/2dx

=(1/2)π/6－1/4[sin2θ][π/6,π/3]

=π/12



https://ja.wolframalpha.com/input?i=%E2%88%AB%5B%CF%80%2F6%2C%CF%80%2F3%5D%281%EF%BC%8Dcos2%CE%B8%29%2F2d%CE%B8





x=2sinθ と置換

∫[1,√3]x²/√(4－x²)dx

=∫[π/6,π/3]4sin²θ/(2cosθ)*(2cosθ)dθ

=4∫[π/6,π/3]sin²θdθ

=4×π/12

=π/3





4) Σ[k=1～n]1/(2k-1)(2k+1)

=1/2 Σ[k=1～n]{1/(2k-1)－1/(2k+1)}

=1/2{(1-1/3)+(1/3-1/5)+…+1/(2n-1)－1/(2n+1)}

=1/2{(1－1/(2n+1)} → 1/2



∫[1,n]dx/(2x－1)(2x+1)

=1/2∫[1,n]{1/(2x－1)－1/(2x+1)}dx

=1/4[log|2x－1|－log|2x+1|][1,n]

=1/4[log|(2x－1)/(2x+1)][1,n]

=1/4{log|(2n－1)/(2n+1)－log(1/3)}

→ 1/4(log1+log3)=1/4 log3