①姫路駅には新幹線単独の出口改札はなく、(1)在来線のりかえ改札経由→(2)在来線の出口改札の順に通ります。
(1)で特急券と乗車券を通すと、特急券は回収されて乗車券のみが出てきます。
(2)で乗車券を通すと途中下車の磁気記録が付いて出てきます。
②途中に乗車しない区間があっても改札機でエラーが出ることはなく、普通に自動改札を通れます。なお、新幹線経由の乗車券であっても神戸駅や三ノ宮駅からJR神戸線/JR京都線で京都に向かうこともできます。混雑する時間帯もありますが、三ノ宮→京都の所要時間は1時間。混雑しがちな新快速を避けて快速に乗っても1時間半もかからないので、立ち寄る場所が新神戸駅の近くでなければ、新神戸から京都まで新幹線に乗らなくてもいいかもしれません。
③特急券と一緒に購入する(あるいは特急券を提示して購入する)乗車券は、購入日から1か月以内の有効開始日を指定して購入します。
博多→京都で買うと、乗車券は自動的に福岡市内→京都市内となり、両市内のJR駅ならどこでも乗降できます。(この2つの市内では途中下車できません。)この区間だと600kmを超えるので、往復割引(約1割引)の対象です。600km超800kmまでの乗車券の有効日数は購入時に指定した有効開始日から片道5日、往復だと10日ですから、福岡を出てから戻ってくるまで10日以内なら、往路の乗車日を使用開始日として往復で買うほうがお得です。10日以上の旅程なら片道ずつ買うしかありません。