0! = 1 の理由
1. 階乗の定義の拡張
正の整数の階乗は、その数から1までの整数の積として定義されます（例: 4! = 4×3×2×1 = 24）。この定義を0に拡張すると、0! = 1とすると数学的な法則性が保たれます。
2. 法則性からの導出
n! = n × (n-1)! という関係性があります。 この関係を逆にたどると、1! = 1 × 0! となり、1! = 1 なので、0! = 1 となります。
3. 組み合わせ論的解釈
階乗は「異なるn個のものを並べる場合の数」と考えることができます。 0個のものを並べる方法は「何も並べない」という1通りしかないため、0! = 1 と解釈できます。
4. 数学的な都合
0! = 1 と定義することで、テイラー展開や二項定理など、多くの数学の公式や定理が0を含む場合でも矛盾なく成立します。この定義は、数学全体の一貫性を保つ上で非常に重要です。
