学校の先生（数学科卒）が整数問題の解説で「市販の参考書だとこの問題は無限降下法っていうのを用いてるんだけど、数学基礎論的に気持ち悪いから僕は使いません。」と言っていました。別に大したことでもないのですが数学科志望として今更ですがちょっと気になってます。どういうことかどなたか教えてくれませんか？

別にそのままです。

「無限降下法」は気持ち悪いからそれを使わない証明でアプローチする。
というだけのことです。

ただし、気持ち悪くても、教科書に「無限降下法」による証明を学習する単元であればそれを学習する。
既に学習済の初等的な数学を使っての別証明を与えるのは後でもよい。

最小の反例を仮定するとさらに小さい反例が作れてしまう
というのが無限降下法の本質であるがもっと直接的なわかりやすい証明があるのならそれもありです。
ただし、受験を目的とした学生にそこまで要求はできないとは思います。

「無限降下法」という方法がある。
ということを知るだけでも教科書の目的は果たせていますので。

たぶん、「フェルマーの定理」に対して具体的な指数が与えられた場合の証明、あるいはその類題ではないかと思うが歴史的な背景「無限降下法といういままでにない証明方法が見つかった」を学ぶことも数学です。