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介護保険の住所地特例は、施設が指定されています。
現在住所地特例でA市の介護保険なら
C市の住所地特例の施設に住所を移してもA市の
保険者というのは変わりません。
あなたのご認識の通りで、住所地特例でないあなたの
住所に住民票を移すと住所地特例はなくなり、
保険者はC市という事になります。
施設さんとしては、今後の手続のためC市に保険者を
移してしまいたい思惑があると思います。
ただ、多くの市町村では、各種手続きは郵送でも
受け付けてくれるので、役所へ行かなくても済むという
メリットも出てきます。