結論から申し上げますと、質問者様の考え方は数学的に非常に鋭く、正しいです。
しかし、解説がそのようになっているのには「0（ゼロ）」という数字の特別な性質が関係しています。以下の3点に分けて解説します。
「0」はプラスでもマイナスでも結果が同じ
絶対値の外し方の基本は以下の通りです。
・中身がプラス（または0）なら、そのまま外す：|0| = 0
・中身がマイナスなら、マイナスをつけて外す：|0| = -0 = 0
見ての通り、0に限っては「そのまま」外しても「マイナスをつけて」外しても、結果はどちらも「0」になります。
解説が「x=1」を含めている理由
今回の問題で x=1 のとき、|x-1| は |0| になります。
解説では -(x-1) として外していますが、ここに x=1 を代入すると -(1-1) = 0 となり、正しい値が得られます。
数学では「境界線（今回なら1）」において、プラスとマイナスのどちらのルールを使っても結果が 0 で一致する場合、計算の便宜上、両方の範囲に「≦（イコール）」を含めてしまうことがよくあります。
範囲の考え方
質問者様が仰る通り、厳密に「負の数になるとき」と限定するなら -1≦x＜1 と書くのが正確です。
ただ、多くの問題集では「x=1 のときも計算結果に矛盾が出ないから、まとめて -1≦x≦1 と書いてしまおう」という省略した書き方をします。
まとめ：
質問者様の「-1≦x＜1 であるべきだ」という理解は、定義を正確に捉えており、100点満点の正解です。
解説の書き方は、「0 になる瞬間はどちらのルールに入れても計算が合うので、まとめて表記しているだけ」だと解釈してください。
もし学習を進める上で、より厳密な定義を確認したい場合は、数研出版の公式解説などの学習サイトで「絶対値の記号とはずし方」を検索してみるのもおすすめです。
参考になれば幸いでございます
