一般的には可能ですが、以下の点に注意が必要です。
・労働者派遣法では、派遣先が派遣労働者を直接雇用していた場合、離職後1年以内は派遣労働者として受け入れることが原則禁止されています。
・ただし、あなたのケースは「請負」として勤務していたとのことですので、直接雇用ではなく請負契約での就労だった可能性があります。この場合は上記の制限に該当しない可能性があります。
・2026年6月退社、2026年7月入社で1ヶ月の期間がありますが、これは「離職後1年以内」に該当します。
・最終的な判断は、以前の雇用形態(請負の具体的な契約形態)、派遣先企業の方針、派遣会社の判断によります。
入社予定の派遣会社に、以前の勤務形態を正確に伝えた上で、配属可能かどうか確認されることをお勧めします。