結論としては、遠隔地バックアップには「Hyper Backup」を使い、メイン機を「Hyper Backup Vault」として公開したサブ機へバックアップする方法がおすすめです。Synology Drive ShareSync は「バックアップ」ではなく「同期」に近いので、今回の用途（故障対策・世代管理）にはあまり向きません。
以下、ポイントごとに説明します。
(1) Hyper Backup と Synology Drive ShareSync の違い
・Hyper Backup
バックアップ専用の仕組みで、差分バックアップ、世代管理（毎日・毎週・毎月の過去データを残す）や暗号化、圧縮ができます。
「ある時点の状態に戻す」「壊れたときに復元する」に強いです。
・Synology Drive ShareSync
フォルダをリアルタイムまたは短い間隔で同期する機能です。
あくまで「コピーを常に同じ状態に保つ」機能なので、
・消してしまったファイルも自動で相手側からも消える
・障害発生時の世代管理が弱い
という点から、「バックアップ」というより「ミラーリング」「共同作業用コピー」に近い性格になります。
(2) おすすめの運用方法（どちらを使うべきか、注意点）
・メイン機 → サブ機への片方向バックアップ
→ Hyper Backup を使用するのが適切です。
理由は、
・世代管理ができる
・バックアップ先を暗号化できる
・復元ウィザードが用意されている
ためです。
注意点としては、
・転送はインターネット経由になるため、ルーターのポート開放やQuickConnect / DDNS を利用して「サブ機側に到達できる」ようにしておく必要があります。
・上り回線が遅いと初回バックアップに時間がかかるので、まずは重要な共有フォルダだけを対象にするなど、範囲を絞るとよいです。
Synology Drive ShareSync を選ぶのは、
「常に同じデータを2拠点で使いたい」「世代管理は不要」な場合に限られると考えてよいです。
(3) 遠隔地の DS223j 同士でのバックアップ設定の概略
ざっくりの流れは次のようになります。
1 サブ機（バックアップ受け側）
・Hyper Backup Vault パッケージをインストール
・コントロールパネルで、外部からアクセスできるように設定
例）
・QuickConnect を有効化して QuickConnect ID をメモ
・もしくは DDNS を設定してホスト名を取得
・ルーターでポート 6281（Hyper Backup 用）をサブ機に転送
・ファイアウォールを使っている場合は 6281 を許可
2 メイン機（バックアップ元）
・Hyper Backup を開く
・「＋」から新しいバックアップタスクを作成
・「データバックアップタスク」 → 「リモート NAS デバイス」
・サーバ名のところに
・QuickConnect ID もしくは DDNS のホスト名を入力
・ポートは 6281 のまま
・ユーザー名／パスワードはサブ機側のDSMユーザー（バックアップ先の共有フォルダにアクセスできるもの）
・認証が通ったら、バックアップ先フォルダを選び、スケジュール（毎日・毎週など）と世代管理のポリシーを設定
質問文のエラーについて
「ネットワークが不安定かシステムがビジー」と出る場合、多くは
・サブ機側にそもそも接続できていない（グローバルIP先のルーター設定、ポート開放未設定）
・サーバ名に LAN 内のローカルIPを入れてしまっている（遠隔地からは届かない）
・QuickConnect / DDNS 設定が未完了
などが原因のことが多いです。
まずはサブ機に対して、
・ブラウザから QuickConnect ID または DDNS ホストで DSM ログインできるか
・ポート 6281 がサブ機に正しく転送されているか
を確認するとよいと思います。
まとめると、
・目的が「故障対策の遠隔バックアップ」なら Hyper Backup 一択
・サブ機を Hyper Backup Vault として公開し、メイン機からリモート NAS として指定
・QuickConnect か DDNS とポート開放をきちんと設定
という形で構成していただくのがよいと思います。
追記
結論としては、今の症状は「Hyper Backupの前に、サブ機側の外部公開がちゃんとできていない」ことが原因の可能性が高く、QuickConnectはHyper Backupでは使えません。なので、DDNSホスト名＋ポート開放、もしくはVPNなど別の経路を使う形になります。 
以下、ポイントを絞って整理します。
1．QuickConnectについて
・Hyper BackupはQuickConnectに対応していません。
・使えるのは「IPアドレス」「DDNSホスト名」「LAN内IP」のいずれかです。 
→ なので、「サーバー名」にQuickConnect IDを入れても接続できません。
2．サブ機側で確認してほしいこと
すでにかなり正しく設定されているので、仕上げとチェックポイントを書きます。
・Hyper Backup Vaultがインストール済みか
→ サブ機のパッケージセンターで「Hyper Backup Vault」がインストール・有効になっているか確認します。
・バックアップ用ユーザーと共有フォルダ
→ コントロールパネル＞ユーザーで、バックアップ専用ユーザーを作成し、
・バックアップ先の共有フォルダに読み書き権限あり
・アプリ権限で「Hyper Backup Vault」を許可
になっているか確認します。 
・ルーターのポートマッピング
→ aterm WH862A側で「グローバル側 6281/TCP → LAN側 6281/TCP、宛先IPはサブ機NAS」を指定します。
→ もし「グローバルポート」と「ローカルポート」を分けて入力する画面なら、どちらも6281にします。 
・本当にそのルーターがグローバルIPを持っているか
→ atermの状態画面で「WAN側IPアドレス」が180.x.x.xになっているか確認してください。
→ もし別の機器（ONU兼ルーターなど）がさらに外側でNATしている場合、そちら側にもポート開放が必要です（いわゆる二重ルーター）。
・回線の方式
→ v6プラス、DS-Lite、MAP-Eなど「IPv4ポート開放非対応」の契約だと、どれだけルーター設定をしても6281番が外から開きません。
→ この場合は
・ポート開放可能なオプション契約に変更する
・もしくはTailscaleなどのVPN経由でHyper Backupする
といった回避策が必要です。 
3．DDNS設定のポイント
・DDNSは「サービスプロバイダ（例：Synology）」と「ホスト名（xxxxx.synology.me など）」が正しく登録されているか確認します。 
・「外部IPアドレス 180〜」の表示は「今そのDDNSがどのIPを指しているか」の情報なので、ここは自動で問題ありません。
・一番大事なのは「実際にそのホスト名で外から到達できるか」です。
→ メイン機と同じネットワークにあるPCから、
https://あなたのホスト名:5001
などでサブ機のDSMログイン画面が出るか試してみてください（5001側もポート開放が必要です）。
4．Hyper Backupでの入力例（メイン機側）
・Hyper Backup ＞ 新しいタスク ＞ フォルダとパッケージ ＞ リモートNASデバイス
・「サーバー名またはIPアドレス」に入力するのは次のどれかです。
例）
・yourname.synology.me（DDNSホスト名）
・180.xxx.xxx.xxx（サブ機側のグローバルIP）
・ポート番号は 6281
・ユーザー名／パスワードは「サブ機に作ったバックアップ専用ユーザー」
・ここで「認証」を押したときにエラーが出る場合は、ほぼ「ポート不通」か「ルーター／回線方式」の問題です。 
5．切り分けの簡単な手順
メイン機側のLANにあるPCから、次の順で試すと原因が絞れます。
・その1：DDNSホスト名にpingやnslookupが通るか
→ 名前解決できない場合はDDNS設定の問題です。
・その2：ポートチェックサイトなどで「6281」が開いていると判定されるか
→ 閉じている場合はポートマッピングか回線方式の問題です。
・その3：サブ機を一時的にDMZにして試す
→ DMZでつながるなら、ポートマッピングの設定ミスの可能性が高いです。
まとめると、
・QuickConnectではHyper Backupの接続はできない
・サブ機側で「Hyper Backup Vault＋ユーザー権限＋DDNS＋6281番ポート開放」が正しくそろっているか再確認
・回線がポート開放不可タイプでないかも要チェック
という点を見直していただくと、解決に近づけると思います。
もし、プロバイダ名や回線種類（フレッツ光＋v6プラスなど）が分かれば、その条件でのやり方ももう少し具体的に整理できます。
