昔のことなのではっきりしたことはわかりませんが、暦を使い始めた時期について書かれた書物が２つあります。
1. 奈良時代に編纂された「日本書紀」に、持統天皇四年十一月甲申(十一日、690年12月17日)に「勅を奉りて始めて元嘉暦と儀鳳暦とを行ふ」とあります。つまりこの時から何月何日という日付が用いられるようになったと読めます。
2. 一方、平安時代に編纂された「政事要略」という本では、推古天皇十二年正月朔(604年2月6日)に「始用暦日」（＝はじめて暦日を用いる）となっています。この記述を信用するならば、「日本書紀」に書いてあるよりも86年早い、604年から何月何日という言い方を始めたことになります。
いずれにせよ、7世紀頃からです。
https://eco.mtk.nao.ac.jp/koyomi/wiki/CEF2BBCB2FC6FCCBDCA4CECEF12F1.CEF1A4CEC5C1CDE8A4ABA4E9C0EBCCC0CEF1A4DEA4C7.html
