2次関数f(x)=ax²-4x+bの最大値・最小値問題を解説します。
まず、この関数を平方完成します。
f(x)=a(x²-4x/a)+b=a(x-2/a)²-4/a+b
軸はx=2/aで、aの符号と軸の位置により場合分けが必要です。
【aが正の場合（下に凸）】
・軸x=2/aが0≦x≦3の範囲内にあるとき、軸で最小値をとります
・2/a=1とすると、a=2
・最小値：f(1)=2-4+b=1より、b=3
・最大値の確認：f(0)=3、f(3)=18-12+3=9となり、最大値が3にならないため不適
【aが負の場合（上に凸）】
・軸x=2/aが0≦x≦3の範囲内にあるとき、軸で最大値をとります
・軸をx=1とすると、2/a=1より、a=-2
・最大値：f(1)=-2-4+b=3より、b=9
・最小値の確認：f(0)=9、f(3)=-18-12+9=-21となり、最小値が1にならないため不適
・軸をx=2とすると、2/a=2より、a=-1
・最大値：f(2)=-4-8+b=3より、b=15
・最小値の確認：f(0)=15、f(3)=-9-12+15=-6となり不適
端点で最大・最小をとる場合を検討すると：
・f(0)=b=3、f(3)=9a-12+b=1
・これより9a-12+3=1、a=-10/9
・検証：軸x=2/a=2/(-10/9)=9/5は範囲内で、f(9/5)=-10/9×81/25-36/5+3=-90/25-180/25+75/25=-195/25\u0026lt;1となり不適
答え：a=-2、b=9
