特定商取引法に基づく「特定継続的役務提供」に該当しているなら「法定書面(契約書)」を受取った日を含め8日間(翌週の同曜日)はクーリングオフの行使は可能です・・・https://www.no-trouble.caa.go.jp/what/continuousservices/
クーリングオフは「発信主義」を採用しています、書面(メール等)を「契約書に記載されている美容クリニックに郵送(発信)した時点で成立しますので「発信日」が証明出来る方法(内容証明・書留 等)で郵送(送信)して下さい。
クーリングオフとは・・・https://www.city.osaka.lg.jp/lnet/page/0000002303.html
電磁的記録でのクーリングオフ・・・https://www.hkd.meti.go.jp/hokih/20220615/index.htm
カード会社には美容クリニックにクーリングオフを行使したと連絡すればOKですが、↑が「書式」での提出を要請した場合は「支払停止抗弁書」を郵送(FAX)すれば安心です、因みに「普通便」で可能です。
支払停止抗弁書・・・https://www.smbc-card.com/content/dam/smcc/jp/ja/mem/service/pdf/shiharai_teishi.pdf
相談(確認)先です。
消費生活センター・・・http://www.kokusen.go.jp/map/