会社が規定通りに運用しているのであれば、質問者さんが育休を取れるのは2/25からです。
法律上、入社から1年後に与えられる権利は「育休を取得する権利」ではなく「育休を申請する権利」となっています。
通常の育休が取得日の1ヶ月前まで、産後パパ育休が取得日の2週間前までに申請をすることとなっていますので、2/11に申請が可能になっても、取得開始日は産後パパ育休で2/25から、通常の育休なら3/11からです。
質問者さんが取得を希望しているのであれば2/25以降の開始日付で産後パパ育休の申請を行えば会社は拒否できません。
2/19からお休みしたいのであれば、2/19から2/24までは有給休暇の取得となるかと思います。
※会社が認めれば2/19から育休を取得することもできますが、1年未満申請不可の労使協定を結んでいるのでしょうし、申請期限は法律通りですから、そのように言われたのであれば難しいでしょう。