コストプッシュインフレとデマンドプルインフレこの２つのインフレにおいて日銀のやるべきことは違うのでしょうか？共に利上げしかないと思うのですが。

そうです。どちらにせよインフレの対応は変わりません。インフレだろうがスタグフレだろうが利上げしか止める方法はないです。

コストプッシュとデマンドプルを持ちだす時点で経済ではなく政治の文脈で喋っていると判断したほうがいいです。