退職から8日後には社会保険喪失手続きって完了しますか？

前職の会社は書類を健康保険に提出するだけです。

持ち込むのか郵送か…

オンラインでできるなら別ですが。

その後の処理は健康保険側の仕事です。

そもそも、質問者を最優先する理由は無いでしょう。