モバイルSuicaで東京フリーきっぷを購入するなら、境界駅で一旦下車する必要はありません。
改札外でSuicaアプリを操作して購入してください。新幹線eチケットを利用するなら、大宮駅では在来線への乗換改札を通った後に在来線改札を出る必要があります。
東京都区内までの乗車券は東京都区内の最初で下車する駅まで有効です。千川は JRではなく東京メトロなので、大宮からは湘南新宿ライン（JS）または埼京線（JA）に乗り池袋に行き、有楽町線（Y）または副都心線（F）に乗り換えます。
千川から元町・中華街までは、副都心線に乗りますが、渋谷から東急東横線（TY）になります。東京フリーきっぷは中目黒まで有効ですので、元町・中華街駅で中目黒からのIC運賃が精算されます。
乗り換えていいなら、副都心線で池袋または渋谷まで行き湘南新宿ラインに乗り換え、横浜でみなとみらい線に乗り換えます。
鎌倉から新宿は、湘南新宿ラインに乗り、鎌倉-蒲田の運賃を精算します。
結論を言うと、少し損ですね。
