このケースで個人で対応するのは非常に困難です。「行政書士（ぎょうせいしょし）」、それも相続と自動車手続きの両方に詳しい事務所に依頼するのが最善の解決策です。
現状の整理と、今後の流れを分かりやすく解説します。
1. なぜ手続きが止まってしまうのか
自動車は大切な「資産」であるため、所有者が亡くなると「相続人全員の共有財産」になります。
あなたとお母様は、法律上の血縁も養子縁組もないため、「法定相続人」ではありません。
現在の法定相続人は、「お祖母様の弟さんの子供（甥・姪）」になります（弟さんの奥様が存命ならその方も）。
名義変更には、これら「会ったこともない法定相続人全員」の書類（印鑑証明書や実印を押した遺産分割協議書など）が必要になります。
2. どこに頼めばよいか？
「行政書士」一択です。
理由1：戸籍の職権請求ができる
行政書士は、正当な理由（自動車の名義変更手続きなど）があれば、他人の戸籍を遡って調査する権限を持っています。これにより、会ったこともない「弟さんの子供」がどこに住んでいるかを突き止めることができます。
理由2：書類作成と交渉のサポート
事情を説明する手紙の作成や、手続きに必要な「譲渡証明書」などの準備を代行してくれます。
理由3：自動車登録の専門家
車の名義変更（移転登録）そのもののプロです。
3. 具体的な解決へのステップ
相続に強い行政書士を探す
ネットで「自動車 名義変更 相続 疎遠」「戸籍調査 行政書士」などのキーワードで検索してください。
行政書士に戸籍調査を依頼する
「実は血縁がないことが判明した。車の名義変更のために法定相続人を特定し、連絡を取りたい」と正直に伝えてください。
相続人に手紙を送る
行政書士を通じて（あるいはアドバイスを受けて）、相続人に事情を説明する手紙を送ります。
「車は自分が介護のために購入し、全額支払ったものであること」
「資産価値がほとんどないこと」
「このままでは税金や管理の問題で迷惑がかかる可能性があること」
「名義を自分に変える（または廃車にする）ための書類に協力してほしいこと」
これらを丁寧に伝えます。
書類を回収し、名義変更を行う
相続人の方々に納得してもらい、印鑑証明書などを送ってもらえれば、晴れて名義変更が可能になります。
4. もし「関わりたくない」と拒否されたら？
「価値のない車なら、勝手に処分してくれ」と言われる可能性もありますが、書類がなければ勝手に処分（廃車）もできません。
その場合は、「車の所有権を放棄してもらうための書類」を郵送し、実印をついてもらうだけの状態にしてお願いするのが一般的です。
5. 費用について
行政書士への依頼料は、戸籍調査の人数や難易度によりますが、数万円〜10数万円程度かかる可能性があります。
「負の遺産」にお金を払うのは心苦しいかもしれませんが、放置しておくと「自動車税の請求が止まらない」「不法投棄扱いになる」「万が一の事故の際に責任追及される」といったリスクがあるため、早めに解決することをお勧めします。
まとめ
まずは、お近くの行政書士事務所に電話し、「祖母が亡くなったが血縁がなく、相続人が不明。車の名義変更をしたい」と相談してみてください。
