＞存命中に固定資産税の請求が来ても払えないとなるとどうなるんでしょうか？
⇒税金を滞納し続けた場合、まずは名義人であるご両親の財産(実家そのもの)が差し押さえの対象となります。
いきなり質問者さん自身の給与等が差し押さえられることは考えにくいですが、放置すると延滞金が膨らみ続けます。
なので、早急に固定資産税納付書を送ってきている自治体に、免除や分納等の負担軽減策等がないか相談してみてください。
ご両親名義の家なら何をするにしても名義人であるご両親の許可が必要です。
が、ご両親が認知症で判断能力がないとなると売却することはできないと思います。
その場合、成年後見人をつければ可能になるかもしれませんが、それはそれで成年後見人への報酬が発生して本末転倒になる可能性もあります。
ご両親については、生活保護の検討をされた方がいいかもしれません。
生活保護は「資産(実家)がある」と難しいと言われますが、今回のように「(認知症のため)本人の意思で処分できない」という場合にどう判断されるかは自治体によります。
施設代が足りない状況を含め、役所で相談してみてください。
お亡くなりになったら相続放棄される予定とのことですが、不動産の場合はご両親が亡くなった後に相続放棄をしても、次の管理者が決まるまで管理責任を問われるケースがあります。
この辺りについては、その時に備えて自治体や法テラスの無料相談等で相談しておいた方がいいかも。
