As the rain beginning to fall
Asはここでは接続詞です。
「〜として」の意味では前置詞ですが、「〜なので」「〜の時」の意味では文節を後ろに取る接続詞です。
だから、As the rain 「was」 beginning to fall なら正解です。
一方でwithは前置詞なので、後ろには名詞しかきません。それで名詞のthe rain が来て、そのrainを修飾するために分詞のbeginning が来ているのです。
With the rain beginning to fall