ゲームや飲み会に行けるのに養育費を支払いはできないってどうなのでしょうか？今の時代でも「差し押さえ」って普通なのでしょうか？公正証書がなくても、差し押さえって確実にできますか？

公正証書がなくても、差し押さえって確実にできますか？

→ その養育費は 毎月●万円を〇日までにどこに支払う という約束が成文化されているのですか？

調停調書なり公正証書があればそれは明確に決められた約束、となり、それをもとに「書かれている通り（決められた通り）」約束が実行されているかどうかが明らかにすることが出来ます。

その約束が守られていないから「約束違反」として強制執行が可能になります。もしそのような証文が無いのなら強制執行は出来ません。