解説に四角形BHICは長方形と書いてあるのですが、なぜ長方形なのですか？問題文の条件はすべて図に書いてあります。

C, IはそれぞれB, Hの真下の点なので
∠BCI=∠HIC=90°

AOは面EAWの対称の軸で、AO⊥BHなので
BC=HI

よって四角形BHICは長方形です。